Использование MULTISIM для проектирования активных фильтров первого порядка

В статье представлены результаты моделирования работы активных фильтров первого порядка, спроектированных на основе операционных усилителей с помощью системы моделирования MULTISIM. Система моделирования позволяет проводить исследования и других электронных устройств.

Использование MULTISIM для проектирования активных фильтров первого порядка

Юрий Пономарёв, Ольга Дячук, г. Житомир

В настоящее время инженеры-проектировщики ищут новые средства (инструменты), которые бы позволили им облегчить работу по созданию новых электронных устройств. В последнее время большую популярность приобретает система схемотехнического моделирования MULTISIM фирмы National Instruments [1], которая успешно заменяет более известную систему Electronics Workbench. Данная система позволяет проектировать и моделировать работу схем в самых различных условиях.

Основные достоинства системы:

• удобный и наглядный интерфейс, что позволяет достаточно быстро научиться работать в системе;

• наличие множества (более 15) различных режимов анализа;

• возможность выбора моделей реальных (а не виртуальных) компонентов;

• возможность «3D» проектирования;

• возможность использования виртуальных измерительных приборов, которые по своим характеристикам относятся к наилучшим образцам цифровых запоминающих устройств и др.

Всё это позволяет существенно сократить общее время проектирования.

Продемонстрируем некоторые из указанных возможностей на примере анализа конкретных схем. В качестве примера схем возьмём широко известные в электротехнике активные фильтры первого порядка, построенные на базе операционных усилителей (ОУ).

Краткие теоретические сведения

Основной характеристикой фильтра считается его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). По виду АЧХ фильтры делятся на фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры, режекторные фильтры и т.д.

Активные фильтры могут быть первого, второго и больших порядков. Порядок задает асимптотический наклон AЧХ. Для фильтров первого порядка он составляет 20 дБ/дек. Для второго — 40 дБ/дек и т.д.

Методика проектирования активных фильтров в общем случае включает три этапа [2]:

• задание технических требований (исходные данные, например АЧХ, фазово-частотная характеристика (ФЧХ) и др.);

• определение передаточной функции;

• конструирование активного фильтра.

В настоящее время целесообразно перед последним этапом добавить отдельный этап моделирования, например, с помощью системы MULTISIM.

Передаточная функция может быть выражена в операторной К(Р) и в частотной формах, где -безразмерная (нормированная) переменная,

— комплексная переменная, i

— угловая частота,

— частота среза,

— коэффициент усиления фильтра в полосе частот,

— относительная частота,

— частота сигнала.

Частота среза фильтра — это частота сигнала, на которой наблюдается уменьшение мощности в два раза, т.е. коэффициент передачи фильтра уменьшается в V2 раз по сравнению с коэффициентом передачи K0 на нулевой (для ФНЧ) или на бесконечной (для ФВЧ) частоте.

Проектируя активные фильтры различных порядков, целесообразно воспользоваться уже рассчитанными коэффициентами [2] соответствующих полиномов, которые и задают конкретный тип фильтра.

Согласно [3], если среди корней полинома есть комплексные, то передаточную функцию ФНЧ можно записать в виде произведения сомножителей первого и второго порядка:

К(Р)=К0/((1+а1 •Р+Ь1•Р2)+(1+а2•Р+Ь2•Р2)), (1) где а1 и Ь1 — положительные действительные коэффициенты.

Фильтры Бесселя, Баттерворта и Чебышева как раз и отличаются значениями этих коэффициентов.

Передаточную функцию ФВЧ можно получить из ФНЧ, заменив оператор Р в (1) на 1/Р:

К(Р)=К0/((1+а1•1/Р+Ь1•1/Р2)+(1+а2•1/Р+Ь2•1/Р2)…). (2)

Методы же оптимизации и расчета коэффициентов аппроксимирующих полиномов ФВЧ остаются неизменными.

Воспользуемся системой MULTISIM для проектирования и анализа работы активных фильтров первого порядка, а именно: ФНЧ, ФВЧ, полосовой. Результаты моделирования целесообразно получать для разных частот (меньше частоты среза, на частоте среза и на частоте больше f0

Порядок расчёта фильтра

Для расчёта параметров проектируемых фильтров целесообразно использовать такую последовательность:

1. Задать частоту среза проектируемого фильтра.

2. Задать коэффициент усиления фильтра.

3. Задать значение ёмкости конденсатора.

4. Рассчитать по соответствующим формулам сопротивления резисторов.

5. Заменить рассчитанные значения сопротивлений резисторов стандартизированными.

6. Выбрать операционный усилитель.

Значение ёмкости конденсатора чаще всего выбирают из ряда Е12, а резисторов — из ряда Е24.

Выбор конкретного ОУ требует учёта ряда факторов. Для упрощённого моделирования в MULTISIM во всех схемах фильтров выберем стандартный (виртуальный) ОУ типа «ОРАМР_3Т_VIRTUAL«.

Фильтр нижних частот первого порядка

Активный ФНЧ первого порядка может быть построенный как по схеме с инвертирующим, так и неинвертирующим входом ОУ. Далее будем рассматривать только фильтры с инвертирующим входом ОУ. Схема указанного фильтра и его логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ)

Учитывая выражение (1), можно записать передаточную функцию представленного ФНЧ в операторной форме:

К(Р)=Ко/(1+а1•Р), (3) где Ко=-R2/R1 — коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте, а1=2¶•fо•R2•С1 (4)

— коэффициент в передаточной функции (3).

Произведём расчёт указанного фильтра.

В качестве примера выберем такие исходные данные: частота среза fо=15 кГц; коэффициент усиления фильтра Ко=4. Ёмкость конденсатора выберем из ряда Е12, например 1,8 нФ. Сопротивление резистора R2 найдём из выражения (4) при условии, что а1=1. Это справедливо независимо от того, какой тип фильтра используется (Чебышева, Баттерворта, Бесселя).

R2=1/(2¶•fо•С1)=5,9 кОм.

Из выражения Ко=|R2/RЯ1| находим сопротивление резистора R1=1,48 кОм. С учётом ряда Е24 выбираем резисторы:

R2=6,2 кОм, R1=1,5 кОм. Коэффициент усиления на частоте среза равен

Результаты моделирования рассчитанного ФНЧ для частоты сигнала приведены на осциллографе и Боде-Плоттере системы MULTISIM (рис.2).

На рис.2 показано:

1. На функциональном генераторе — параметры задаваемого гармонического сигнала (частота 1,5 кГц, амплитуда 1 В).

2. На двухканальном осциллографе — кривые входного (1, Channel_A) и выходного (2, Channel_В) сигналов. Расчётное значение коэффициента усиления ФНЧ можно подсчитать как отношение их максимальной амплитуды.

К0(0,1•fо)РАСЧ=4,110 В/999,577 мВ =4,1, что приближённо соответствует заявленному значению К0=4.

Неточность обусловлена выбором конкретных значений сопротивлений резисторов схемы из рядя Е24, а не рассчитанных.

Из осциллограмм видно, что сигнал на выходе действительно в 4 раза больше, чем на входе и находится в противофазе, поскольку используется схема с инвертирующим ОУ.

В децибелах коэффициент передачи фильтра на частотах, близких к нулю, равен:

К0(0,1•fо)РАСЧ(дБ)=20lg(R2/R1)=20lg(6,2/1,5)=20lg 4,1=12,26 дБ.

3. На Боде-Плоттере 1 (XBP1) — АЧХ фильтра. На частоте 1,48 кГц (близкой к 0,1•fо=1,5 кГц — красная вертикальная линия) точнее просто невозможно установить с помощью стрелок программы «влево», «вправо», коэффициент передачи ФНЧ составляет 12,28 дБ, что практически соответствует рассчитанному.

4. На Боде-Плоттере 2 (XBP2) — ФЧХ фильтра. Сдвиг фазы изменяется от 180° (на низких частотах) до 90° (на высоких частотах). На частоте 1,48 кГц он составляет приблизительно 174°, т.е. практически в полной противофазе.

На рис.3 показаны результаты моделирования фильтра на частоте среза (15 кГц).

На функциональном генераторе задана частота гармонического сигнала 15 кГц.

На осциллографе выходной сигнал уже составляет не 4 В, как на рис.2, а 2,846 В (синяя вертикальная линия, окно Channel_B). Коэффициент усиления составляет

К0(fо)РАСЧ=2,846 В/999,757 мВ=2,85, что примерно соответствует К0, 7=2,83.

На Боде-Плоттере 1 (XBP1) на частоте 15,058 кГц (красная вертикальная линия) рассчитанный выше коэффициент усиления принимает значение коэффициента передачи фильтра 9,073 дБ. Разница между рис.2 и рис.3 составляет 12,28 дБ — 9,073 дБ=3,2 дБ, что примерно соответствует 3 дБ на рис.1.

На Боде-Плоттере 2 (ХВР2) на частоте 15,058 кГц сдвиг фазы составляет примерно 133°, т.е. не в полной противофазе, что и видно на осциллографе.

На функциональном генераторе задана частота гармонического сигнала 150 кГц.

На осциллографе выходной сигнал составляет 390,904 мВ (синяя вертикальная линия, окно Channel_В). Коэффициент усиления составляет

К0(1М0)РАСЧ=390,904 мВ/999,446 мВ «0,39, что свидетельствует о существенном ослаблении сигнала. На Боде-Плоттере 1 (ХВР1) на частоте 149,497 кГц (примерно 150 кГц) коэффициент передачи фильтра составляет -8,122 дБ. Разница между рис.4 и рис.3 (по горизонтальной оси частот — декада) составляет 9,073 дБ-(-8,122 дБ)«17,2 дБ, что примерно соответствует снижению АЧХ 20 дБ на декаду

На Боде-Плоттере 2 (ХВР2) на частоте 149,497 кГц сдвиг фазы составляет примерно 95°, что наглядно видно на осциллографе.

Таким образом, результаты моделирования системой MULTISIM спроектированного ФНЧ первого порядка свидетельствуют о правильности рассчитанных и выбранных параметров компонентов схемы данного фильтра по указанной методике и правильности его работы.

По вышерассмотренной методике целесообразно проводить анализ работы любого фильтра (ФВЧ, полосовой и т.д.), но для дальнейшего упрощения анализа приведём результаты работы только для одной, определённой частоты.

Фильтр верхних частот первого порядка

Схема активного ФВЧ первого порядка с инвертирующим входом ОУ и его ЛАЧХ показаны на рис.5.

Исходя из выражения (2), коэффициент передачи ФВЧ первого порядка в операторной форме может быть записан

Произведём расчёт указанного фильтра.

В качестве примера выберем те же данные, что и для ФНЧ: частота среза fо=15 кГц; коэффициент усиления фильтра Ко=4; сопротивления резисторов, как в схеме ФНЧ: R1=1,5 кОм, R2=6,2 кОм. Поскольку, в данном случае, все параметры ФВЧ оказываются заданными, кроме ёмкости конденсатора С2, то в отличие от фильтра ФНЧ мы здесь будем рассчитывать не сопротивления резисторов (R1, R2), а именно С2.

Рассчитаем С2

Выберем из ряда Е12 значение ёмкости конденсатора С2, ближайшее к рассчитанному: С2=6,8 нФ.

1. На функциональном генераторе — параметры задаваемого гармонического сигнала (частота 150 кГц, амплитуда 1 В).

2. На осциллографе — кривые входного (1, чёрный цвет) и выходного (2, красный цвет) сигналов. Расчётное значение коэффициента усиления ФВЧ равно:

Ко(1о•fо)РАСЧ=4,110 В/999,493 мВ ≈ 4,11, что приблизительно соответствует Ко=4.

Из осциллограмм видно, что сигнал на выходе фильтра действительно в 4 раза больше, чем на входе, и находится в противофазе.

В децибелах коэффициент передачи ФВЧ такой же, как и для ФНЧ, но на частоте, стремящейся к бесконечности, равен Ко(1о•fо)РАСЧ(дБ)=20lg(R2/R1)=12,26 дБ.

3. На Боде-Плоттере 1 (ХВР1) — АЧХ фильтра. На частоте 14,7 кГц (близкой к fо=15 кГц — красная вертикальная линия) коэффициент передачи ФВЧ составляет около 9,1 дБ, т.е. на 12,3-9,1 «3,2 дБ меньше, что примерно соответствует 3 дБ на рис.5.

4. На Боде-Плоттере 2 (ХВР2) — ФЧХ фильтра. Сдвиг фазы изменяется от -9о° (на низких частотах) до -18о° (на высоких). На частоте 14,8 кГц (близкой к частоте среза) сдвиг фазы составляет приблизительно -133°, т.е. уже не в полной противофазе, как на осциллографе (рис.6) для частоты 15о кГц.

Можно сделать вывод, что фильтр работает правильно.

Полосовой фильтр первого порядка

Полосовой фильтр и его ЛАЧХ показаны на рис.7.

Построим полосовой фильтр на основе объединения ФНЧ и ФВЧ первого порядка, которые были рассмотрены выше, т.е. с теми же параметрами. Исходя из этого, параметры полосового фильтра будут такими: fо=15 кГц, Ко=4, R1=1,5 кОм,R2=6,2 кОм, С1=1,8 нФ, С2=6,8 нФ.

Здесь fо уже не частота среза, а средняя частота рабочего диапазона фильтра (частота, при которой наблюдается максимальная амплитуда).

В рассматриваемом фильтре должны выполняться условия: R2•С1≥R1•С2, С2/С1=R2/R1.

В нашем случае эти условия приблизительно выполняются (6,2•1,8=11≥1,5•6,8=10 и 6,8/1,8=3,7=6,2/1,5=4,1 соответственно).

Коэффициент усиления на резонансной частоте fо равен Кfо=Ко,7/√2=(Ко/√2)/√2=Ко/(√2)2=Ко/2=4/2=2. Кfо(ДБ)=20lg(Uвых/Uвх)=20lg2≈6 дБ.

Коэффициент усиления на частотах среза f1, f2 равен Кf1=Кf2=Кf0/√2=2/1,41=1,41. Кf1(дБ)=Кf2(дБ)=20lg1,41≈3 дБ.

1. На функциональном генераторе — параметры задаваемого гармонического сигнала (частота 15 кГц, амплитуда 1 В).

2. На осциллографе — кривые входного (1, Channel_A) и выходного (2, Channel_В) сигналов. Расчётное значение коэффициента усиления равно

Кf0расч=2,022 В/999,724 мВ ≈2, что соответствует заявленному Кf0=2.

Из осциллограмм видно, что сигнал на выходе действительно в 2 раза больше, чем на входе, и находится в противофазе (схема с инвертирующим входом ОУ).

3. На Боде-Плоттере 1 (XBP1) — АЧХ фильтра. На частоте 14,8 кГц (близкой к fo=15 кГц — красная вертикальная линия) коэффициент передачи фильтра составляет 5,9 дБ, что примерно соответствует рассчитанному значению (6 дБ).

4. На Боде-Плоттере 2 (XBP2) — ФЧХ фильтра. Сдвиг фазы изменяется от -90° до -180° (на частотах от нуля до fo) и от 180° до 90° (на частотах от fo до бесконечной). На частоте 14,8 кГц он составляет -167°, т.е. находится примерно в противофазе.

На рис.9 показаны результаты моделирования фильтра в точках, где коэффициент усиления снижается до уровня примерно 1,41, что соответствует Kf1, Kf2. Слева представлена нижняя граничная частота f|, справа — верхняя граничная частота f2.

Анализируя рис.9, можно определить частоты точек среза полосового фильтра: f1≈6,2 кГц, f2≈35,4 кГц. Средняя частота фильтра связана с граничными частотами выражением f0=√(f1•f2)=√(6,2 кГц•35,4 кГц)=14,8 кГц. Эта же частота через параметры компонентов определяется по формуле: f0=1/2√(R1C2R2C1)=1/6,28√(1,5 кОм•6,8 нФ•6,2 кОм•1,8 нФ)=14,9 кГц.

Как видим, и в первом, и во втором случае, рассчитанные частоты примерно соответствуют заявленной 15 кГц.

Полученные результаты свидетельствуют о правильности работы фильтра, хотя следует отметить, что крутизна нарастания и спада его АЧХ по результатам моделирования оказалась несколько хуже, чем на рис.7, и составляет примерно 17 дБ на декаду.

Подводя итоги анализа всех рассмотренных фильтров, можно отметить следующее:

1. Система MULTISIM позволяет достаточно удобно, полно и быстро провести анализ работы указанных фильтров.

2. Результаты моделирования свидетельствуют о правильности выбранных методик расчёта параметров компонентов схем фильтров и правильности их работы.

3. Имеющиеся неточности между результатами моделирования и рассчитанными значениями можно частично объяснить тем, что параметры схем фильтров выбирались на основе реальных компонентов, которые несколько отличаются от рассчитанных.

Литература

1. Марк Е. Multisim: Современная система компьютерного моделирования и анализа схем электронных устройств / Пер. с англ. Осипов А.И. — М.: Издательский дом ДМК-прес, 2006.

2. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров / Пер. с англ. — М.: Мир, 1984.

3. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справ. руководство / Пер. с нем. — М.: Мир, 1982.

4. Водовозов А.М., Елюков А.С. Проектирование активных фильтров. — Вологда: ВоГТУ, 2009.